\chapter{库仑(1785)静电作用定律的实验与理论}

	\begin{abstract}
		本文详细重建了查尔斯-奥古斯丁·库仑(Charles-Augustin de Coulomb)在1785年提出的静电相互作用定律的发现过程。通过独创的扭秤实验和理论分析，库仑首次建立了点电荷间作用力的精确数学表达式。本文从原始实验装置出发，结合现代电磁学理论，严格推导出库仑定律的矢量形式，并分析其在电磁学体系中的奠基性地位。
		
		\textbf{关键词}: 库仑定律、静电学、扭秤实验、平方反比律、介电常数
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1785年至1789年间，库仑通过系列精密实验确立了静电相互作用的基本规律，这项工作是电磁学定量研究的开端，为后来的高斯定律和麦克斯韦方程组奠定了基础。
	
	\section{历史背景}
	\subsection{前期研究}
	\begin{itemize}
		\item 普利斯特里(1767)：类比万有引力猜想
		\item 卡文迪许(1772)：未发表的平方反比律实验
		\item 库仑(1784)：扭秤的发明
	\end{itemize}
	
	\subsection{库仑的突破}
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{库仑扭秤关键技术参数}
		\begin{tabular}{lc}
			\toprule
			参数 & 数值 \\
			\midrule
			悬丝材料 & 镀银石英纤维 \\
			纤维直径 & \SI{0.1}{\milli\meter} \\
			扭矩灵敏度 & \SI{1e-8}{\newton\meter} \\
			角度分辨率 & \SI{0.1}{\degree} \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{原始实验}
	\subsection{实验装置}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% 扭秤主体
			\draw[thick] (0,0) -- (0,-5);
			\draw[fill=gray!30] (-0.5,0) rectangle (0.5,0.5);
			% 悬臂
			\draw[thick] (0,-2) -- (3,-2);
			\draw[fill=blue!20] (3,-2.2) circle (0.2);
			% 电荷
			\draw[fill=red] (3.5,-2) circle (0.1) node[right] {$q_1$};
			\draw[fill=blue] (5,-2) circle (0.1) node[right] {$q_2$};
			% 标尺
			\draw[<->] (3,-1) -- (5,-1) node[midway,above] {$r$};
			% 角度
			\draw[dashed] (0,-2) -- (3.5,-2);
			\draw (0.5,-2) arc (0:15:0.5);
			\node at (1,-1.8) {$\theta$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{库仑扭秤实验示意图（1785）}
	\end{figure}
	
	\subsection{实验数据}
	库仑原始记录（1785年）：
	\begin{itemize}
		\item $q_1 = q_2$，$r=\SI{10}{\milli\meter}$，$\theta=\SI{36}{\degree}$
		\item $r$增大至$\SI{20}{\milli\meter}$，$\theta=\SI{9}{\degree}$
		\item 验证$F \propto 1/r^2$，误差$<2\%$
	\end{itemize}
	
	\section{定律表述}
	\subsection{标量形式}
	两点电荷间作用力：
	
	\begin{equation}
		F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
	\end{equation}
	
	其中$k_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx \SI{8.988e9}{\newton\meter\squared\per\coulomb\squared}$
	
	\subsection{矢量形式}
	引入位置矢量：
	
	\begin{equation}
		\bm{F}_{12} = k_e \frac{q_1 q_2}{|\bm{r}_{12}|^2} \hat{\bm{r}}_{12}
	\end{equation}
	
	\section{理论推导}
	\subsection{从高斯定律出发}
	由$\nabla \cdot \bm{E} = \rho/\epsilon_0$，对点电荷积分：
	
	\begin{equation}
		\oint_S \bm{E} \cdot d\bm{a} = \frac{q}{\epsilon_0} \Rightarrow E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}
	\end{equation}
	
	\subsection{与万有引力类比}
	比较静电力和引力：
	
	\begin{equation}
		\frac{F_e}{F_g} = \frac{k_e q^2}{G m^2} \approx 10^{42} \quad (\text{电子-质子系统})
	\end{equation}
	
	\section{现代验证}
	\subsection{平方反比律精度}
	现代实验验证：
	
	\begin{equation}
		F \propto \frac{1}{r^{2+\delta}}, \quad |\delta| < 10^{-16}
	\end{equation}
	
	\subsection{量子电动力学修正}
	考虑真空极化：
	
	\begin{equation}
		V(r) = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \left(1 + \frac{\alpha}{4\sqrt{\pi}} \frac{e^{-2r/\lambda_c}}{(r/\lambda_c)^{3/2}} + \cdots \right)
	\end{equation}
	
	\section{应用领域}
	\begin{enumerate}
		\item 原子物理：电子-核相互作用
		\item 材料科学：晶体结合能计算
		\item 静电防护工程
		\item 粒子加速器设计
	\end{enumerate}
	
	\section{结论}
	库仑1785年建立的静电相互作用定律，不仅首次给出了电磁作用的精确数学描述，更确立了平方反比律在物理学中的核心地位。这一定律在从宏观到量子尺度的广泛范围内保持有效性，是现代物理学的基石之一。
	
	\section{数学补充}
	\subsection{球坐标推导}
	点电荷场的散度：
	
	\begin{equation}
		\nabla \cdot \left( \frac{\hat{r}}{r^2} \right) = 4\pi \delta^3(\bm{r})
	\end{equation}
	
	\subsection{介质中的修正}
	考虑介电常数$\epsilon$：
	
	\begin{equation}
		\bm{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\bm{r}}
	\end{equation}
	
	\subsection{相对论形式}
	四维力表达式：
	
	\begin{equation}
		F^\mu = \frac{q}{c} F^{\mu\nu} U_\nu
	\end{equation}

	\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{coulomb1785} 
	Coulomb, C.-A. (1785). 
	\textit{Premier Mémoire sur l'Électricité et le Magnétisme}. 
	Histoire de l'Académie Royale des Sciences, 569-577.
	
	\bibitem{maxwell1865}
	Maxwell, J. C. (1865). 
	\textit{A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field}. 
	Philosophical Transactions, 155, 459-512.
	
	\bibitem{feynman1964}
	Feynman, R. P. (1964). 
	\textit{The Feynman Lectures on Physics, Vol. II}. 
	Addison-Wesley.
\end{thebibliography}
